Secret Sharing در رمزنگاری

Secret Sharing یک تکنیک اساسی در رمزنگاری است که هدف آن تقسیم یک داده محرمانه (مثل یک کلید رمزنگاری) به چندین قطعه است، به‌طوری‌که هیچ‌کدام از این قطعات به‌تنهایی قادر به بازسازی داده اصلی نباشند. در واقع، برای بازیابی داده اصلی، نیاز است که حداقل تعداد مشخصی از قطعات در کنار هم قرار گیرند. یک مدل کلاسیک و مهم در این زمینه، الگوریتم Shamir’s Secret Sharing است که از چندجمله‌ای‌ها برای تقسیم اطلاعات به بخش‌های مختلف استفاده می‌کند. در این مقاله به‌طور تخصصی به این الگوریتم و مفاهیم مرتبط با آن می‌پردازیم.

الگوریتم Shamir’s Secret Sharing

الگوریتم Shamir’s Secret Sharing (SSS) یکی از مشهورترین و معتبرترین روش‌ها برای تقسیم اطلاعات محرمانه است. این الگوریتم بر اساس پلی‌نوم‌های چندجمله‌ای عمل می‌کند و از درون‌یابی لاگرانژ (Lagrange Interpolation) برای بازیابی داده استفاده می‌کند.

گام‌های الگوریتم Shamir

1. تعریف یک چندجمله‌ای:
   در الگوریتم Shamir، ابتدا یک چندجمله‌ای به درجه ( $m-1$ ) تعریف می‌شود که در آن ( $m$ ) تعداد قطعاتی است که برای بازسازی داده اصلی نیاز است. این چندجمله‌ای به شکل زیر خواهد بود: $$
   f(x) = s + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{m-1} x^{m-1}
   $$ در اینجا:

• ( $s$ ) داده محرمانه است (که به عنوان مثال می‌تواند یک کلید رمزنگاری باشد).
• ( $a_1, a_2, \dots, a_{m-1}$ ) ضرایب تصادفی هستند که به‌طور تصادفی برای هر اجرا انتخاب می‌شوند. توجه: ( $f(0) = s$ )، یعنی مقدار داده محرمانه در نقطه ( $x = 0$ ) قرار دارد.

1. محاسبه نقاط متعدد:
   سپس این چندجمله‌ای برای نقاط مختلف ( $x$ ) محاسبه می‌شود. به این ترتیب، ( $n$ ) نقطه مختلف به دست می‌آید که هرکدام به یک فرد تخصیص داده می‌شود. این نقاط به شکل ( $(x_i, f(x_i))$ ) هستند. به‌طور مثال، فرض کنید داده محرمانه ( $s = 10$ ) باشد و یک چندجمله‌ای درجه 2 به شکل زیر داشته باشیم: $$
   f(x) = 10 + 3x + 2x^2
   $$ حالا این چندجمله‌ای را برای نقاط مختلف محاسبه می‌کنیم: $$
   f(1) = 10 + 3(1) + 2(1)^2 = 15
   $$ $$
   f(2) = 10 + 3(2) + 2(2)^2 = 24
   $$ $$
   f(3) = 10 + 3(3) + 2(3)^2 = 37
   $$ بنابراین، سه نقطه ( $(1, 15), (2, 24), (3, 37)$ ) تولید می‌شوند که به سه شرکت‌کننده ارسال می‌شود.
2. درون‌یابی برای بازیابی داده:
   برای بازیابی داده محرمانه، باید حداقل ( $m$ ) نقطه از میان ( $n$ ) نقطه جمع‌آوری شود. سپس از درون‌یابی لاگرانژ استفاده می‌شود تا داده محرمانه بازسازی شود. فرمول درون‌یابی لاگرانژ برای بازسازی داده محرمانه به شکل زیر است: $$
   s = \sum_{i=1}^{m} y_i \cdot l_i(0)
   $$ که در آن:

• ( $y_i$ ) مقادیر ( $f(x_i)$ ) هستند.
• ( $l_i(x)$ ) ضریب لاگرانژ برای نقطه ( $i$ ) است که به شکل زیر محاسبه می‌شود: $$
  l_i(x) = \prod_{\substack{1 \leq j \leq m \ j \neq i}} \frac{x – x_j}{x_i – x_j}
  $$ این روش تضمین می‌کند که تنها با ( $m$ ) نقطه، داده محرمانه ( $s$ ) قابل بازیابی است.

مثال از الگوریتم Shamir

فرض کنید ما داده محرمانه ( $s = 10$ ) داریم و یک چندجمله‌ای درجه 2 به این شکل تعریف می‌کنیم:

$$
f(x) = 10 + 3x + 2x^2
$$

حال اگر سه نقطه را برای سه نفر ارسال کنیم:

• نفر اول: ( $(1, 15)$ )
• نفر دوم: ( $(2, 24)$ )
• نفر سوم: ( $(3, 37)$ )

برای بازسازی داده محرمانه، فقط به دو نقطه نیاز داریم، مثلاً ( $(1, 15)$ ) و ( $(2, 24)$ ). سپس با استفاده از درون‌یابی لاگرانژ می‌توانیم داده محرمانه ( $s = 10$ ) را بازسازی کنیم.

الگوریتم Blakley’s Secret Sharing

الگوریتم Blakley’s Secret Sharing یک روش هندسی است که برخلاف الگوریتم Shamir که از چندجمله‌ای‌ها استفاده می‌کند، از هندسه فضای ( $n$ )- بعدی بهره می‌برد. در این الگوریتم، داده محرمانه به مجموعه‌ای از ابرصفحات در یک فضای ( $n$ )- بعدی تعلق دارد. برای بازسازی داده محرمانه، باید نقاط مشترک بین ابرصفحات مختلف پیدا شود.

اصول الگوریتم Blakley

1. داده محرمانه ( $s$ ) به یک نقطه در فضای ( $n$ )- بعدی اختصاص می‌یابد.
2. هر بخش داده نمایانگر یک ابرصفحه است که داده محرمانه را شامل می‌شود.
3. برای بازسازی داده، باید حداقل ( $m$ ) ابرصفحه به طور هندسی ترکیب شوند تا نقطه‌ای که داده محرمانه را نشان می‌دهد، بازسازی شود.

این الگوریتم بیشتر در سیستم‌هایی با نیاز به تقسیم داده‌ها در محیط‌های خاص استفاده می‌شود، اما به دلیل پیچیدگی‌های هندسی، در مقایسه با Shamir، محدودیت‌هایی دارد.

چالش‌ها و محدودیت‌های Secret Sharing

1. نیاز به مدیریت دقیق بخش‌ها:
   برای امنیت کامل در Secret Sharing، نیاز به ذخیره‌سازی و مدیریت صحیح بخش‌ها وجود دارد. اگر یکی از بخش‌ها گم یا به خطر بیافتد، ممکن است امنیت داده‌ها تحت تأثیر قرار گیرد.
2. هزینه‌های محاسباتی:
   به‌ویژه در الگوریتم Shamir، استفاده از درون‌یابی لاگرانژ و محاسبات چندجمله‌ای، ممکن است هزینه‌های محاسباتی زیادی داشته باشد. این مسئله در سیستم‌های با منابع محدود، می‌تواند چالش‌برانگیز باشد.

نتیجه‌گیری

Secret Sharing تکنیک مؤثری برای محافظت از داده‌های محرمانه است که از الگوریتم‌هایی مانند Shamir و Blakley استفاده می‌کند. این الگوریتم‌ها به‌ویژه در مدیریت کلیدهای رمزنگاری و سیستم‌های توزیع‌شده کاربرد دارند. هرچند که این تکنیک‌ها امنیت بالایی فراهم می‌کنند، اما چالش‌هایی مانند هزینه‌های محاسباتی و مدیریت بخش‌ها هنوز باید در پیاده‌سازی‌های عملی مورد توجه قرار گیرند.